Previous Up Next

1.33.2  Ανάπτυγμα Taylor : taylor

taylor παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :

Σημειώσατε ότι η σύνταξη …,x,n,a,... (αντί για …,x=a,n,...) είναι επίσης αποδεκτή.
taylor επιστρέφει ένα πολυώνυμο ως προς x-a, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:
(x-a)^n*order_size(x-a)
όπου order_size είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,

∀ r>0,    
 
lim
x→ 0
 xr order_size(x) = 0 


Για κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, η order_size είναι μια φραγμένη συνάρτηση, αλλά για μη κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, μπορεί να τείνει αργά στο άπειρο, για παράδειγμα σαν μια δύναμη του ln(x).
Είσοδος :

taylor(sin(x),x=1,2)

ή (προσέξτε την διάταξη των ορισμάτων !) :

taylor(sin(x),x,2,1)

Έξοδος :

sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)^2+ (x-1)^3*order_size(x-1)

Σχόλιο
Η τάξη που επιστρέφεται από την taylor μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα

taylor(
x3+sin(x)3
x−sin(x)

Είσοδος :

taylor(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)))

Η έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά μόνο δεύτερης τάξης :

6+-27/10*x^2+x^3*order_size(x)

Πράγματι, ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι 3, και γι’ αυτό χάνουμε 3 τάξεις. Για να πάρουμε ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε n=7, εισάγοντας :

taylor(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)),x=0,7)

Έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης :

6+-27/10*x^2+x^3+711/1400*x^4+x^5*order_size(x)

Previous Up Next