adjoint_matrix παίρνει ως όρισμα έναν τετραγωνικό πίνακα
A μεγέθους n.
adjoint_matrix επιστρέφει την λίστα των συντελεστών του P
(χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A), και
μία λίστα πινάκων που είναι οι συντελεστές του (γενικού) προσαρτημένου πίνακα μεγέθους n, δηλαδή του πολυωνύμου Q(x) = I× xn−1+⋯+B0 βαθμού n−1. Προσοχή! Το
Xcas επιστρέφει την απόλυτη τιμή του Q(x). O προσαρτημένος πινακας του A είναι (−1)n−1Q(x) και επομένως, ο απλός προσαρτημένος πινακας του A
είναι (−1)n−1B0 = (−1)n−1Q(0).
Ο απλός προσαρτημένος πινακας ενός τετραγωνικού πίνακα A μεγέθους n είναι ο πίνακας B μεγέθους n του οποίου το στοιχείο στην θέση (i,j) είναι (−1)i+j επί την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον A αν διαγράψουμε την σειρά j και την στήλη i (προσέξτε την αναστροφή!). Ο (γενικός) προσαρτημένος πίνακας του A είναι ο απλός προσαρτημένος πινακας του xI-A. Ισχύει
A× B = B× A = det(A)× I |
καθώς επίσης και :
P(x)× I=det(xI−A)I=(xI−A)Q(x) |
Εφόσον το πολυώνυμο P(x)× I−P(A)
μπορεί επίσης να διαιρεθεί από x× I−A (από αλγεβρικές ταυτότητες),
αυτό αποδεικνύει ότι P(A)=0.
Είσοδος :
Έξοδος :
Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο P είναι :
P(x)=x3−6*x2+12*x−8 |
Η ορίζουσα του A ισούται με −P(0)=8. Ο απλός προσαρτημένος πίνακας του A ισούται με :
B=Q(0)=[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]] |
Επομένως, ο αντίστροφος του A ισούται με :
1/8*[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]] |
Ο γενικός προσαρτημένος πίνακας του A είναι :
[[x2−2x+1,x−2,−2x+3],[x−2,x2−4x+4,−x+2],[2x−3,x−2,x2−6x+7]] |
Είσοδος :
Έξοδος :
Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο P είναι :
P(x)=x2−6*x+7 |
Η ορίζουσα του A ισούται με +P(0)=7. Ο απλός προσαρτημένος πίνακας του A ισούται με
Q(0)= −[[−2,1],[1,−4]] |
Επομένως, ο αντίστροφος του A ισούται με :
−1/7*[[−2,1],[1,−4]] |
Ο γενικός προσαρτημένος πίνακας του A είναι :
−[[x−2,1],[1,x−4]] |